Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W由滿足x²+y²≤5的點(diǎn)的（x，y）構(gòu)成．
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，在W中任取點(diǎn)M（x，y），求點(diǎn)M位于第四象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，在W中任取點(diǎn)M（x，y），求y+x＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$的概率．

Answer 1

分析 （I）先一一列舉出平面區(qū)域W中的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再看看在第四象限的有多少個(gè)點(diǎn)，最后利用概率公式計(jì)算即得；
（II）因y+x＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$的平面區(qū)域是一個(gè)弓形區(qū)域，欲y+x＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$的概率，只須求出弓形區(qū)域的面積與圓的面積之比即可．

解答 解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有21個(gè)，列舉如下：
（-2，-1），（-2，0），（-2，1）；
（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；
（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1），（1，2）；
（2，-1），（2，0），（2，1）；
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），（1，-2），（2，-1）時(shí)，點(diǎn)M位于第四象限．
故點(diǎn)M位于第四象限的概率為$\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$．
（Ⅱ）由已知可知區(qū)域W的面積是5π．如圖

設(shè)直線l：y=-x+$\frac{\sqrt{10}}{2}$與圓Ox²+y²=5，如圖，截得弦長(zhǎng)為$\sqrt{15}$，可求得扇形的圓心角為$\frac{2π}{3}$，
所以扇形的面積為S=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}π×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{3}π$，則滿足y+x＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域的面積為
S=$\frac{5}{3}π-\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×sin\frac{2π}{3}=\frac{20π-15\sqrt{3}}{12}$，
所以y+x＞$\frac{\sqrt{10}}{2}$的概率為$\frac{\frac{20π-15\sqrt{3}}{12}}{5π}=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了古典概型和幾何概型，古典概型采用了列舉法求出事件的個(gè)數(shù)，利用事件的個(gè)數(shù)比求概率；而幾何概型利用了面積為測(cè)度，計(jì)算概率．