Question

9．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D₁Q垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 解法一：（1）如圖：連AC，設(shè)AC∩BD=O，$AP與面BDD_1^{\;}B_1^{\;}交于點(diǎn)G，連OG$．利用線面平行的性質(zhì)可得：OG∥PC．利用三角形中位線定理及其線面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD₁B₁，可得線面角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）依題意，要在A₁C₁上找一點(diǎn)Q，使得D₁Q⊥AP．只需D₁Q⊥平面ACC₁A₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，可推測A₁C₁的中點(diǎn)$O_1^{\;}$即為所求的Q點(diǎn)再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可．
解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、向量夾角公式即可得出．
（2）若在$A_1^{\;}C_1^{\;}$上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，依題意，對任意的m要使D₁Q⊥AP，利用$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$$•\overrightarrow{AP}$=0，解出x即可得出．

解答 解法一：（1）如圖：連AC，設(shè)AC∩BD=O，$AP與面BDD_1^{\;}B_1^{\;}交于點(diǎn)G，連OG$．…（1分）$因?yàn)镻C∥面BDD_1^{\;}B_1^{\;}，面BDD_1^{\;}B_1^{\;}∩面APC=OG$，
故OG∥PC．所以$OG=\frac{1}{2}PC=\frac{m}{2}$．
又$AO⊥DB，AO⊥BB_1^{\;}，所以AO⊥面BDD_1^{\;}B_1^{\;}$…（3分）
故$∠AGO即為AP與面BDD_1^{\;}B_1^{\;}所成的角$．…（4分）
在Rt△AOG中，tan∠AGO=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{m}{2}}$=3$\sqrt{2}$，即$m=\frac{1}{3}$．
故當(dāng)$m=\frac{1}{3}$時(shí)，直線AP與平面BDD₁B₁所成的角的正切值為3$\sqrt{2}$．…（6分）

（Ⅱ）依題意，要在A₁C₁上找一點(diǎn)Q，使得D₁Q⊥AP．只需D₁Q⊥平面ACC₁A₁，…（7分）
設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，可推測A₁C₁的中點(diǎn)$O_1^{\;}$即為所求的Q點(diǎn)．…（8分）
因?yàn)?D_1^{\;}O_1^{\;}⊥A_1^{\;}C_1^{\;}$．$D_1^{\;}O_1^{\;}⊥AA_1^{\;}$，
所以D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
即D₁Q⊥平面ACC₁A₁，…（10分）
又AP?平面ACC₁A₁，
故D₁O₁⊥AP．即D₁Q⊥AP．…（12分）
解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，…（1分
則A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），
C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）．
所以$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$═（-1，1，m），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），…（2分）
又由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BB_1^{\;}}=0知\overrightarrow{AC}為平面BB_1^{\;}D_1^{\;}D$的一個(gè)法向量．…（3分）
設(shè)AP與$面BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角為θ，
則$sinθ=cos（\frac{π}{2}-θ）=\frac{{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AC}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}$…（4分）
依題意有：$\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{{1+（3\sqrt{2}）_{\;}^2}}}}$，解得$m=\frac{1}{3}$．…（5分）
故當(dāng)$m=\frac{1}{3}$時(shí)，直線$AP與平面BDD_1^{\;}B_1^{\;}所成的角的正切值為$$3\sqrt{2}$．…（6分）
（2）若在$A_1^{\;}C_1^{\;}$上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，…（7分）
則$Q（x，1-x，1），\overrightarrow{{D_1}Q}=（x，1-x，0）$．…（8分）
依題意，對任意的m要使D₁Q⊥AP，$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$$•\overrightarrow{AP}$=-x+（1-x）+0=0，解得x=$\frac{1}{2}$．…（9分）
即C為D的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的性質(zhì)、向量夾角公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．