【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn), 上的任意一點(diǎn).

(1)求的取值范圍;

(2)上異于的兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之積為,證明: 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)法一:設(shè)的坐標(biāo)為,利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡即可求得范圍;法二:運(yùn)用三角函數(shù)換元設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為利用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算出范圍(2)法一:設(shè)直線斜率分別為,聯(lián)立直線方程與曲線方程,利用根與系數(shù)之間關(guān)系,再由,計(jì)算得;法二:設(shè)直線的斜率分別為,計(jì)算得,由,得,即,證得的中點(diǎn)在上,同理可證的中點(diǎn)在上,即說明兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)

解析:解法一:(1)依題意得,所,

所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,

所以

,

又因?yàn)?/span>,所以

所以,

所以的取值范圍為.

(2)設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為

設(shè)直線斜率分別為,則直線方程為,

由方程組消去,得

,

由根與系數(shù)關(guān)系可得,

,

同理可得,

,

,

,

從而.

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

解法二:(1)依題意得,所

所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,

又因?yàn)?/span>,所以

所以,

所以的取值范圍為.

(2)設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率分別為,

由方程組,

所以,

所以

所以,

又因?yàn)?/span>

所以,

所以

所以的中點(diǎn)在上,

同理可證: 的中點(diǎn)在上,

所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

根據(jù)橢圓的對稱性,

所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

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