Question

【題目】如圖，在四棱錐中， , ，點為棱的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，從而可得四邊形為平行四邊形， ，利用線面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，從而得平面， 到平面的距離為，利用三角形面積公式求出底面積，根據(jù)等積變換及棱錐的體積公式可得 .

試題解析：（1）取的中點，連接.

因為點為棱的中點，

所以且，

因為且 ，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

因為平面， 平面，

所以平面.

（2）因為，

所以.

因為，所以，

所以，

因為, 平面， 平面,

所以平面.

因為點為棱的中點，且，

所以點到平面的距離為2.

.

三棱錐的體積 .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于中檔題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.