Question

14．在平面直角坐標系中，若點P（x，y）的坐標x，y均為整數，對稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內部的格點數記為N．邊界上的格點數記為L．例如圖中△ABC是格點三角形，對應的S=1，N=0，L=4．
（1）圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是3，1，6．
（2）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數，若某格點多邊形對應的N=17，L=10，則S=79（用數值作答）．

Answer 1

分析 （1）利用新定義，觀察圖形，即可求得結論；
（2）根據格點多邊形的面積S=aN+bL+c，結合圖中的格點三角形ABC及格點四邊形DEFG，建立方程組，求出a，b，c即可求得對應S值．

解答 解：（1）觀察圖形，可得四邊形的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×2=3，
四邊形內的點為N=1，邊界上的點為L=6；
（2）不妨設某個格點四邊形由兩個小正方形組成，此時S=2，N=0，L=6；
∵格點多邊形的面積S=aN+bL+c，
∴結合圖中的格點三角形ABC及格點四邊形DEFG可得
$\left\{\begin{array}{l}{1=4b+c}\\{3=a+6b+c}\\{2=6b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴S=N+$\frac{1}{2}$L-1；
將N=71，L=18代入可得S=71+$\frac{1}{2}$×18-1=79．
故答案為：（1）3，1，6；（2）79．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，注意區(qū)分多邊形內部格點數和邊界格點數是關鍵．