Question

5．已知函數(shù)f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．
若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，
等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax＜0恒成立．
設(shè)g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））．
即g（x）的最大值小于0．g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）
（1）當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）＜0，
∴g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））為減函數(shù)．
∴g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0
∴a≥-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≥a≥-$\frac{1}{2}$，
（2）a≥1時，g′（x）=（x-1）（2a-1-$\frac{1}{x}$）＞0．
g（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx-2ax（x∈（1，+∞））為增函數(shù)，
g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．
（3）當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時，g（x）在（1，$\frac{1}{2a-1}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{1}{2a-1}$，+∞）上為增函數(shù)，
同樣最大值可無窮大，不滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．