Question

6．已知函數f（x）=x²-2（a²-a）lnx，g（x）=2a²lnx．
（1）若a=2，求函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a≤$\frac{1}{2}$時，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出切點坐標，切線斜率，即可得到所求切線方程．
（2）通過$f（x）＞2g（x）⇒3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$，對?x＞1恒成立；構造函數$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，求出導數求出極值點，判斷函數的單調性，求解函數的最值，即可推出a的范圍．

解答 解：（1）依題意，$f（x）={x^2}-4lnx，f'（x）=2x-\frac{4}{x}$，
故f'（1）=-2，因為f（1）=1，…（3分）
故所求切線方程為y-1=-2（x-1），得y=-2x+3；…（4分）
（2）依題意，因為x∈（1，+∞），故lnx＞0，
故$f（x）＞2g（x）⇒3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$，對?x＞1恒成立；…（6分）
令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，則$h'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{2{{（{lnx}）}^2}}}$，令h'（x）=0，得$x=\sqrt{e}$，
當$x∈（{1，\sqrt{e}}）$時，h（x）單調遞減；$x∈（{\sqrt{e}，+∞}）$時，h（x）單調遞增…（8分）
所以當$x=\sqrt{e}$時，h（x）取得最小值$h（{\sqrt{e}}）=e$…（9分）
∴$3{a^2}-a＜e⇒\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a＜\frac{{1+\sqrt{1+12e}}}{6}$…（11分）
又∵$a≤\frac{1}{2}$，∴$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a≤\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程以及函數的單調性，函數的最值，考查轉化思想以及計算能力．