Question

2．已知兩條平行直線l₁：$\sqrt{3}$x-y+1=0與l₂：$\sqrt{3}$x-y+3=0．
（1）若直線n與l₁、l₂都垂直，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積是2$\sqrt{3}$，求直線n的方程．
（2）若直線m經(jīng)過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，4），且被l₁、l₂所截得的線段長為2，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線的斜率，根據(jù)直線垂直關(guān)系求出直線的斜率，結(jié)合三角形的面積公式建立方程進(jìn)行求解即可．
（2）求出兩條直線的距離，根據(jù)平行直線與相交直線的距離關(guān)系求出直線的斜率即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：直線l₁的斜率是k₁=$\sqrt{3}$，
∵n與l₁、l₂都垂直，
∴直線n的斜率是k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$      （2分）
設(shè)直線n的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x+b，
令y=0得x=$\sqrt{3}$b，令x=0得y=b，（4分）
∴$\frac{1}{2}$|$\sqrt{3}$b||b|=2$\sqrt{3}$，∴b=±2，∴直線n的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x+2或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x-2．   （6分）
（2）解：l₁、l₂之間的距離d=$\frac{|3-1|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{2}{2}$=1，（8分）
設(shè)直線m與l₁所成銳角為θ，則sinθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，直線m的傾斜角為90°或30°，（10分）
所以，直線m的方程為x=$\sqrt{3}$或y-4=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ （x-$\sqrt{3}$），
即x=$\sqrt{3}$或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ x+3．     （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線方程的求解，利用平行直線以及直線垂直的關(guān)系求出直線的斜率是解決本題的關(guān)鍵．