Question

19．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作漸近線的垂線，垂足為P，線段OP的垂直平分線交y軸于點Q（其中O為坐標原點），若OFP的面積是OQP的面積的6倍，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出P，Q的坐標，結合三角形的面積公式建立方程進行求解即可．

解答 解：雙曲線漸近線的方程為y=$\frac{a}$x，則PF的斜率k=-$\frac{a}$，
則PF的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
OP的中點M（$\frac{{a}^{2}}{2c}$，$\frac{ab}{2c}$），
OP的中垂線的方程為y-$\frac{ab}{2c}$=-$\frac{a}$（x-$\frac{{a}^{2}}{2c}$），
令x=0，則y=$\frac{ab}{2c}$+$\frac{a}$•$\frac{{a}^{2}}{2c}$=$\frac{ac}{2b}$，即Q（0，$\frac{ac}{2b}$），
則OQP的面積S=$\frac{1}{2}$•$\frac{ac}{2b}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{a}^{3}}{4b}$，
則OFP的面積S=$\frac{1}{2}$•c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{ab}{2}$，
∵OFP的面積是OQP的面積的6倍，
∴6×$\frac{{a}^{3}}{4b}$=$\frac{ab}{2}$，
即b²=3a²，
則b²=3a²=c²-a²，
即4a²=c²，
則c=2a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線的性質的應用，根據(jù)雙曲線漸近線之間的關系求出交點坐標，結合三角形的面積公式是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．