Question

10．x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{ax+y-1≤0}\\{3x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=x²-10x+y²的最小值為-12．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，化簡可得（x-5）²+y²的最小值為13，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
，
∵z=x²-10x+y²=（x-5）²+y²-25的最小值為-12，
∴（x-5）²+y²的最小值為13，
直線ax+y-1=0恒過點(diǎn)A（0，1），
直線y=$\frac{3}{2}$x-1與圓（x-5）²+y²=13相切于點(diǎn)B（2，2）；
∵ax+y-1=0可化為y=-ax+1，
故-a≥k_AB=$\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}$，
故a≤-$\frac{1}{2}$；
故答案為：a≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用；關(guān)鍵是正確畫圖，利用幾何意義完成；屬于中檔題．