Question

20．已知拋物線C：y²=-2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為F，在拋物線C上存在點M，使得點F關(guān)于M的對稱點恰好在直線1：x+y-2=0上，且|MF|=1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線MF與拋物線C的另一個交點為N，點P在y軸上，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)M（m，n），運用拋物線的定義和M在拋物線上，解方程即可得到所求拋物線的方程；
（2）求得M，F(xiàn)的坐標(biāo)，可得直線MF的方程，代入拋物線的方程，運用韋達(dá)定理可得N的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）拋物線C：y²=-2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為F（-$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=$\frac{p}{2}$，
設(shè)M（m，n），點F關(guān)于M的對稱點為（2m+$\frac{p}{2}$，2n），
由題意可得2m+$\frac{p}{2}$+2n=2，①
由拋物線的定義可得|MF|=$\frac{p}{2}$-m=1，②
又n²=-2pm，③
由②可得p=2（m+1），代入②③可得，
n=$\frac{1}{2}$（1-3m），且n²=-4m（m+1），
即有25m²+10m+1=0，
解得m=-$\frac{1}{5}$，可得p=$\frac{8}{5}$，
則拋物線C的方程為y²=-$\frac{16}{5}$x．
（2）由（1）可得M（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$），F(xiàn)（-$\frac{4}{5}$，0），
可得直線MF的方程為y=$\frac{4}{3}$（x+$\frac{4}{5}$），
代入拋物線的方程y²=-$\frac{16}{5}$x，可得
$\frac{16}{9}$x²+$\frac{272}{45}$x+$\frac{256}{225}$=0，
設(shè)N（x₁，y₁），即有-$\frac{1}{5}$x₁=$\frac{16}{25}$，
可得x₁=-$\frac{16}{5}$，y₁=$\frac{4}{3}$×（-$\frac{12}{5}$）=-$\frac{16}{5}$，
即N（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
設(shè)P（0，t），即有$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$-t）•（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$-t）
=$\frac{16}{25}$+（$\frac{4}{5}$-t）（-$\frac{16}{5}$-t）=t²+$\frac{12}{5}$t-$\frac{48}{25}$=（t+$\frac{6}{5}$）²-$\frac{84}{25}$．
當(dāng)t=-$\frac{6}{5}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值為-$\frac{84}{25}$．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用拋物線的定義和點滿足拋物線的方程，考查向量數(shù)量積的最值的求法，注意運用直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，以及二次函數(shù)的最值求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．