Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系
xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸）中，曲線(xiàn)C的方程為sinθ=

ρ

2

-

2

ρ

．
（Ⅰ）判斷直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程，曲線(xiàn)C的方程化為直角坐標(biāo)方程，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，直線(xiàn)l的普通方程為x-y-1=0代入x²+（y-1）²=5，即可求出直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得（x-1）sinα-ycosα=0過(guò)定點(diǎn)A（1，0）；曲線(xiàn)C的方程為sinθ=

ρ

2

-

2

ρ

的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=5，圓心坐標(biāo)為C（0，1），半徑為r=

5

，
∴A在圓C內(nèi)，
∴直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，直線(xiàn)l的普通方程為x-y-1=0代入x²+（y-1）²=5，得2x²-4x-1=0，
∴x=1±

6

2

，
∴直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-

6

2

，-

6

2

），（1+

6

2

，

6

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程化成普通方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．