Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n=n²+3n（n∈N⁺），則$\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{a}_{2}^{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}^{2}}{n+1}$=2n²+6n．

Answer 1

分析 通過a₁+a₂+…+a_n=n²+3n與a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）作差，進而計算可知a_n=2（n+1），分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²+3n，
∴當n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²+3（n-1），
兩式相減得：a_n=（n²+3n）-[（n-1）²+3（n-1）]=2（n+1），
又∵a₁=1+3=4滿足上式，
∴a_n=2（n+1），$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{n+1}$=4+4n，
∴$\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{a}_{2}^{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}^{2}}{n+1}$=4n+4•$\frac{n（n+1）}{2}$=2n²+6n，
故答案為：2n²+6n．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．