Question

9．已知拋物線x²=4y焦點(diǎn)為F，直線l與該拋物線相交于點(diǎn)A，B，且$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，則|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，且使得四邊形OCFD為平行四邊形，這樣可作出圖形，從而有$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OD}$，可設(shè)$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}）$，從而可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，而F（0，1），從而可以求出$\overrightarrow{CF}$的坐標(biāo)，且可求出$\overrightarrow{OD}$的坐標(biāo)，這樣即可建立關(guān)于x₁，x₂的方程組，解出x₁，x₂，從而可得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出$|\overrightarrow{AB}|$的值．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，且四邊形OCFD為平行四邊形；
∴$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{OD}$；
設(shè)$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}）$，則$C（\frac{{x}_{1}}{3}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）$，$\overrightarrow{OD}=（\frac{2{x}_{2}}{3}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}）$；
∵F（0，1）；
∴$\overrightarrow{CF}=（-\frac{{x}_{1}}{3}，1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{x}_{1}}{3}=\frac{2{x}_{2}}{3}}\\{1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}=\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴A（$2\sqrt{2}，2$），B（$-\sqrt{2}，\frac{1}{2}$），或$A（-2\sqrt{2}，2），B（\sqrt{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，向量相等的概念，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度．