Question

17．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤10\\ x+2y≤14\\ x+y≥6\end{array}\right.$，則xy的最大值為（　�。�

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{49}{2}$
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：法1：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
由圖象知y≤10-2x，
則xy≤x（10-2x）=2x（5-x））≤2（$\frac{x+5-x}{2}$）²=$\frac{25}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{5}{2}$，y=5時(shí)，取等號(hào)，
經(jīng)檢驗(yàn)（$\frac{5}{2}$，5）在可行域內(nèi)，
故xy的最大值為$\frac{25}{2}$，
法2：設(shè)z=xy，則y=$\frac{z}{x}$為雙曲線，
要使z=xy最大，則z＞0，
∵由圖象可知當(dāng)z=xy與2x+y=10相切時(shí)，z=xy取得最大值，
∴2x+$\frac{z}{x}$=10
即2x²-10x+z=0，
由判別式△=100-8z=0，得x=$\frac{100}{8}$=$\frac{25}{2}$，
即xy的最大值為$\frac{25}{2}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．