Question

17．給定兩個(gè)命題：p：關(guān)于x的不等式ax²+x+1≤0的解集為∅；q：函數(shù)f（x）=ax³-x²+x+1在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)．如果p，q至少一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，從而求出p，q至少一個(gè)為真時(shí)a的范圍即可．

解答 解：P為真，即?x∈R，ax²+x+1＞0恒成立，a=0時(shí)，不成立；
a≠0時(shí)，需滿足$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-4a＜0\end{array}\right.$，
∴$a＞\frac{1}{4}$…（4分）
q為真時(shí)，f'（x）=3ax²-2x+1≤0對(duì)于任意的x≥1恒成立，
$3a≤\frac{2x-1}{x^2}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}$對(duì)于任意的x≥1恒成立，
令$t=\frac{1}{x}（0＜t≤1）$，則3a≤2t-t²對(duì)于任意的0＜t≤1恒成立，
令g（t）=2t-t²，則g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，g（t）＞g（0）=0
所以3a≤0，即a≤0…（8分）
如果p，q至少一個(gè)為真，
則a的取值范圍為a≤0，或$a＞\frac{1}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．