Question

7．為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習情況，某校從第四次模擬考試成績中抽取一個樣本，將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖，圖中從左到右小矩形面積之比為2：5：10：5：3，最左邊一組的頻數(shù)為4，請結(jié)合直方圖解決下列問題．
（Ⅰ）求中位數(shù)；
（Ⅱ）列出頻率分布表；
（Ⅲ）從樣本中成績在[120，140）內(nèi)的學(xué)生中任取2個學(xué)生，若成績在[120，130）內(nèi)獎給1個小紅旗；若成績在[130，140）內(nèi)獎給2個小紅旗．設(shè)X表示2個學(xué)生所得紅旗總數(shù)，求X的分布列和E（X）．

Answer 1

分析 （I）先分別求出從左至右各組的頻率，由此能求出中位數(shù)．
（II）由最左邊一組的頻數(shù)為4，求出樣本單元數(shù)n，從而求出從左至右各組頻數(shù)，由此能求出頻率分布表．
（III）由題意X的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由題意知從左至右各組的頻率分別為$\frac{2}{25}$，$\frac{5}{25}$，$\frac{10}{25}$，$\frac{5}{25}$，$\frac{3}{25}$，即0.08，0.2，0.4，0.2，0.12，
∴中位數(shù)為：120+$\frac{0.5-0.2-0.08}{0.4}×10$=125.5．…（3分）
（II）∵最左邊一組的頻數(shù)為4，∴樣本單元數(shù)n=$\frac{4}{0.08}$=50，
∴從左至右各組頻數(shù)分別為：4，50×0.2，50×0.4，50×0.2，50×0.12，即4，10，20，10，6，
∴頻率分布表為：

分   組	頻   數(shù)	頻    率
[100，110）	4	0.08
[110，120）	10	0.2
[120，130）	20	0.4
[130，140）	10	0.2
[140，150）	6	0.12
合   計	50	1

…（6分）
（III）由題意X的可能取值為2，3，4，
$P（X=2）=\frac{{C_{20}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{38}{87}$，
$P（X=3）=\frac{{C_{20}^1•C_{10}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{40}{87}$，
$P（X=4）=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{9}{87}$，
X的分布列為：

X	2	3	4
p	$\frac{38}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{9}{87}$

…（10分）
$EX=2×\frac{38}{87}+3×\frac{40}{87}+4×\frac{9}{87}=\frac{232}{87}$．…（12分）

點評 本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組知識和頻率分布直方圖的合理運用．