Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=n•a_n，求數列{b_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁+S₁=a₁+a₁=2，求得a₁=1，a_n+1+S_n+1=2，a_n+S_n=2，兩式相減得：2a_n+1=a_n，根據等數列通項公式求得a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）由b_n=n•a_n=$n•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，利用“錯位相減法”即可求得數列{b_n}前n項和S_n．

解答 解：（1）∵n=1時，a₁+S₁=a₁+a₁=2，
∴a₁=1．…（2分）
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，
∴a_n+1+S_n+1=2．
兩式相減：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，
∵a_n≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（n∈N₊），
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．…（6分）
（2）∵b_n=n•a_n=$n•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴${S_n}=1•{（\frac{1}{2}）^0}+2•{（\frac{1}{2}）^1}+3•{（\frac{1}{2}）^2}+…+n•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
而$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，②…（8分）

①-②得$\frac{1}{2}$S_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{1•（1-（\frac{1}{2}）^{2}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=2-（2+n）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=4-（2+n）（$\frac{1}{2}$）^n-1．…（12分）

點評 本題考查等比數列通項公式，考查等比數列性質，考查“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．