Question

2．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-3}}，x≤2\\{log_a}x，x＞2\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的值域是[2，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求其在x≤2的值域?yàn)閇2，+∞），要使函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞），log_ax在x＞2的值域?qū)儆赱2，+∞），從而求解a的范圍．

解答 解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$（\frac{1}{2}）^{x-3}$在x≤2的值域?yàn)閇2，+∞），要使函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞），那么log_ax在x＞2的值域?qū)儆赱2，+∞），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax在x＞2的值域?yàn)椋?∞，log_a2），不符合題意．
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax在x＞2的值域?yàn)椋╨og_a2，+∞），
由題意：log_a2≥2，
解得：a≤$\sqrt{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]，
故答案為（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．