Question

3．函數f（x）=x+ax²+blnx的圖象在點P（1，0）處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）≤2x-2對任意正實數x恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用函數的導數和斜率的關系以及函數值，列出方程組，即可求a，b的值；
（2）設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，求出函數的導數，判斷函數的單調性，求出函數的最值，然后證明f（x）≤2x-2對任意正實數x恒成立．

解答 （1）解：由題設，y=f（x）在點P（1，0）處切線的斜率為2．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f'（1）=1+2a+b=2}\end{array}}\right.$，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$（6分）
因此實數a，b的值分別為-1和3．
（2）證明：f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）．
設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，
則g′（x）=-1-2x+$\frac{3}{x}$=-$\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0．
∴g（x）在 （0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減．
∴g（x）在x=1處有最大值g（1）=0，
∴f（x）-（2x-2）≤0，即f（x）≤2x-2，得證．（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，利用導數研究函數切線及最值，考查轉化思想以及計算能力．