Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圓是⊙O，D是劣弧$\widehat{AC}$上的一點(diǎn)，弦AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連結(jié)BD并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，連結(jié)CD．
（1）求證：DE平分∠CDF；
（2）求證：AB²=AD•AE．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠ADB，∠ADB=∠EDF，由此能證明DE平分∠CDF．
（2）由∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，得△ABD∽△ABE，由此能證明AB²=AD•AE．

解答 證明：（1）∵圓O是四邊形ABCD的外接圓，
∴∠ABC=∠DEC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB與∠EDF是對(duì)頂角，∴∠ADB=∠EDF，
∴∠DEC=∠EDF，
∴DE平分∠CDF．
（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABD∽△ABE，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角平分線的證明，考查一條線段的平方是另兩條線段乘積的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．