Question

15．已知函數(shù) f（x）=e^x-1-ex．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)a∈R，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（a）的表達式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-1-ex，
∴f′（x）=e^x-1-e，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在（-∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（2）a≥2時，f（x）在[a，a+1]遞增，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（a）=e^a-1-ea，
a+1≤2，即a≤1時，f（x）在[a，a+1]遞減，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（a+1）=e^a-e（a+1），
a＜2＜a+1時，f（x）在[a，2）遞減，在（2，a+1]遞增，
∴g（a）=f（x）_最小值=f（2）=-e，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a-1}-ea，a≥2}\\{-e，1＜a＜2}\\{{e}^{a}-e（a+1），a≤1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．