Question

12．雙流中學食堂旁邊有一塊矩形空地，學校想要在這塊空地上修建一個內接四邊形EFGH花壇（如圖所示），該花壇的四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞10），BC=10，且 AE=AH=CG=CF，設AE=x，花壇EFGH的面積記為S（x）．
（1）求S（x）的解析式，并指出這個函數的定義域；
（2）當x為何值時，花壇面積S（x）最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）先求得四邊形ABCD，△AHE，△BEF的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關于x的函數關系式；
（2）由（1）知y是關于x的二次函數，用二次函數求最值的方法求解．

解答 解：（1）S_△AEH=S_△CFG=$\frac{1}{2}$x²，S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（10-x）．（2分）
S（x）=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-$\frac{1}{2}$（a-x）（10-x）=-2x²+（a+10）x
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{a-x＞0}\\{10-x≥0}\\{a＞10}\end{array}\right.$，得0＜x≤10
∴S（x）=-2x²+（a+10）x，x∈（0，10]…（6分）
（2）由（1）知f（x）=-2x²+（a+10）x=$-2{（{x-\frac{a+10}{4}}）^2}+\frac{{{{（{a+10}）}^2}}}{8}$
因為a＞10，若$\frac{a+10}{4}$≤10，即10＜a≤30，S（x）_max=S（$\frac{a+10}{4}$）=$（\frac{a+10}{8}）^{2}$
$\begin{array}{l}若\frac{a+10}{4}＞10，即a＞30，有S（x）在上是增函數，此時\\ S{（x）_{max}}=S（{10}）=-{（{10-\frac{a+10}{4}}）^2}+\frac{{{{（{a+10}）}^2}}}{8}=10a-100…（11分）\end{array}$
綜上所述，10＜a≤30時，S（x）_max=S（$\frac{a+10}{4}$）=$（\frac{a+10}{8}）^{2}$；
當a＞30，x=10時，S（x）_max=S（10）=10a-100…（12分）

點評 本題主要考查實際問題中的建模和解模能力，考查分類討論的數學思想，注意二次函數求最值的方法．