Question

9．已知P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)M，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 先求出雙曲線的方程，再求出M的坐標(biāo)，最后兩頁向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}-1=1$，
∴a²=1，
∴雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)切點(diǎn)分別為H，N，M，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與M橫坐標(biāo)相同．
由雙曲線的定義，PF₁-PF₂=2a=2．
由圓的切線性質(zhì)PF₁-PF₂=F₁H-F₂N=F₁M-F₂M=2，
∵F₁M+F₂M=F₁F₂=4，∴F₂M=1，OM=1，
∴M（1，0）．
∵P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（2，0），
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{3}$）•（1，0）=$\sqrt{2}$-1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，巧妙地借助于圓的切線的性質(zhì)是關(guān)鍵．