Question

18．若過點A（2，m）可作函數(shù)f（x）=x³-3x對應(yīng)曲線的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為（-6，2）．

Answer 1

分析 設(shè)切點為（a，a³-3a），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率k=f′（a），利用點斜式寫出切線方程，將點A代入切線方程，可得關(guān)于a的方程有三個不同的解，利用參變量分離可得2a³-6a²=-6-m，令g（x）=2x³-6x²，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性和極值，則根據(jù)y=g（x）與y=-6-m有三個不同的交點，即可得到m的取值范圍．

解答 解：設(shè)切點為（a，a³-3a），
∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3，
∴切線的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由點斜式可得切線方程為y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
∵切線過點A（2，m），
∴m-（a³-3a）=（3a²-3）（2-a），即2a³-6a²=-6-m，
∵過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴關(guān)于a的方程2a³-6a²=-6-m有三個不同的根，
令g（x）=2x³-6x²
∴g′（x）=6x²-12x=0，解得x=0或x=2，
當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜2時，g′（x）＜0，當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時，g（x）取得極大值g（0）=0，
當(dāng)x=2時，g（x）取得極小值g（2）=-8，
關(guān)于a的方程2a³-6a²=-6-m有三個不同的根，等價于y=g（x）與y=-6-m的圖象有三個不同的交點，
∴-8＜-6-m＜0，
∴-6＜m＜2，
∴實數(shù)m的取值范圍為：（-6，2）．
故答案為（-6，2）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．運用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，對能力要求較高．屬于中檔題．