【題目】已知是橢圓的兩個焦點,為坐標原點,離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)為橢圓上三個動點,在第二象限,關(guān)于原點對稱,且,判斷是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時點的坐標,若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在,最小值為,
【解析】
(1)把點的坐標代入橢圓方程中,再求出離心率的表達式,最后根據(jù)三者之間的關(guān)系,可以求出的值,最后寫出橢圓的標準方程;
(2)利用平面向量數(shù)量積的定義,化簡的表達式,可以發(fā)現(xiàn)只需判斷面積是否有最小值,設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求出的表達式,同理求出的表達式,最后確定面積的表達式,利用基本不等式可以求出面積的最小值,最后求出點的坐標.
(1)點在橢圓上,則,
又,,
解得,,
橢圓的方程為;
(2),
只需判斷面積是否有最小值.
設(shè)直線的方程為,
設(shè),,
聯(lián)立,得,
所以,
因為,同理可知,
,
此時,
因為即時,最小值為,
易知直線的方程為,
聯(lián)立,解得,即.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進,市民的出行也越來越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某條地鐵線路運行時,發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關(guān)系:,其中.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過1500人,試求發(fā)車時間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問當發(fā)車時間間隔t為多少時,平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)當時,證明:函數(shù)只有一個零點;
(3)若函數(shù)的極大值等于,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.
(I)求圓的普通方程及其極坐標方程;
(II)設(shè)直線的極坐標方程為,射線與圓的交點為,與直線的交點為Q,求線段PQ的長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知集合,集合,集合.
(1)用列舉法表示集合C;
(2)設(shè)集合C的含n個元素所有子集為,記有限集合M的所有元素和為,求的值;
(3)已知集合P、Q是集合C的兩個不同子集,若P不是Q的子集,且Q不是P的子集,求所有不同的有序集合對的個數(shù);
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【題目】某化工廠從今年一月起,若不改善生產(chǎn)環(huán)境,按生產(chǎn)現(xiàn)狀,每月收入為80萬元,同時將受到環(huán)保部門的處罰,第一個月罰4萬元,以后每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時間不計),一方面可以改善環(huán)境,另一方面可以大大降低原料成本,據(jù)測算,添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前4個月中的累計生產(chǎn)凈收入g(n)是生產(chǎn)時間個月的二次函數(shù)是常數(shù),且前3個月的累計生產(chǎn)凈收入可達309萬元,從第5個月開始,每個月的生產(chǎn)凈收入都與第4個月相同,同時,該廠不但不受處罰,而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵120萬元.
(1)求前6個月的累計生產(chǎn)凈收入g(6)的值;
(2)問經(jīng)過多少個月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造的純收入.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是,點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓另一個焦點是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求的內(nèi)切圓面積的最大值.
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