Question

【題目】已知：以點(diǎn)C（t， ）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值；
（3）設(shè)直線y=﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)t=2時(shí)，圓心為C（2，1），

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；

（2）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣ ）2=t2+ ，

化簡(jiǎn)得x2﹣2tx+y2﹣ y=0．

當(dāng)y=0時(shí)，x=0或2t，則A（2t，0）；

當(dāng)x=0時(shí)，y=0或 ，則B（0， ），

∴S△AOB= OAOB= |2t|| |=4為定值．

（3）解：∵OM=ON，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點(diǎn)共線，KMN=﹣2，則直線OC的斜率k= ，

∴t=2或t=﹣2．

∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．

由于當(dāng)圓方程為（x+2）2+（y+1）2=5時(shí)，直線2x+y﹣4=0到圓心的距離d＞r，

此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，

∴所求的圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

【解析】（1）當(dāng)t=2時(shí)，圓心為C（2，1），即可得出圓C的方程；（2）求出半徑，寫(xiě)出圓的方程，再解出A、B的坐標(biāo)，表示出面積即可；（3）設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，根據(jù)C、H、O三點(diǎn)共線，KMN=﹣2，由直線OC的斜率k= ，求得t的值，可得所求的圓C的方程．