Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點為F，過點F的直線交y軸于點N，交橢圓C于點A、P（P在第一象限），過點P作y軸的垂線交橢圓C于另外一點Q．若 ．

（1）設(shè)直線PF、QF的斜率分別為k、k'，求證： 為定值；
（2）若 且△APQ的面積為 ，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)焦點F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），則Q（﹣x2，y2），

∴直線PF的斜率k= ，QF的斜率k'= ，

∵ ．

∴c=2（x2﹣c），即x2= c

∴k= = ，k'= = ，

∴k=﹣5k'，即 =﹣5為定值．

（2）解：若 ， 則丨AF丨=3丨FP丨，

，解得：A（﹣ c，﹣3y1）

∵點A、P在橢圓C上，則 ，

整理得： =8，解得： = ，

則 ，代入得： = ， = ，

∵△APQ的面積為S△APQ= 3c4y1=6cy1= ，

解得：c2 = ，

∴c2=4，

∴橢圓方程為：

【解析】（1）由題意可知：設(shè)P（x1 ， y1），則Q（﹣x2 ， y2），由 ．解得：x2= c，由直線的斜率公式k= = ，k'= = ， =﹣5為定值；（2）由 ， ， ，求得A點坐標(biāo)，代入橢圓方程，解得 = ，由c2=a2﹣b2 ， ，因此 = ， = ，由三角形的面積公式可知：S△APQ= 3c4y1=6cy1= ，求得c2 = ，即可求得c的值，求得橢圓方程．