Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，（CR）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≥e^2x在x∈[0，ln3]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+a+1≤0在（-∞，2]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥（e^x-x）_max，設(shè)g（x）=e^x-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=（x+a+1）e^x，x∈R．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，
所以f'（x）≤0，即x+a+1≤0在（-∞，2]上恒成立．
因?yàn)閥=x+a+1是增函數(shù)，
所以滿足題意只需2+a+1≤0，
即a≤-3．（6分）
（Ⅱ）f（x）≥e^2x，即（x+a）e^x≥e^2x，
a≥e^x-x在x∈[0，ln3]時(shí)恒成立，
即a≥（e^x-x）_max，
設(shè)g（x）=e^x-x，g′（x）=e^x-1，
易知g′（x）≥0，在x∈[0，ln3]上恒成立，
所以g（x）_max=g（ln3）=3-ln3，
所以a≥3-ln3．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．