Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PM=3MC，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BCDQ是平行四邊形，從而BQ⊥AD，進(jìn)而AD⊥平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答 證明：（1）∵Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2，BC=1，
∴PQ⊥AD，QD$\underset{∥}{=}$BC，
∴四邊形BCDQ是平行四邊形，∴DC∥QB，
∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，
∴BQ⊥AD，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
解：（2）∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則Q（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)M（a，b，c），則$\overrightarrow{PM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{PC}$，即（a，b，c-$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{4}$（-1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∴$a=-\frac{3}{4}$，b=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，c=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴M（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面MQB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QM}=-\frac{3}{4}x+\frac{3\sqrt{3}}{4}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
平面BQC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角M-BQ-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，
∴二面角M-BQ-C的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．