Question

12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$，則x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{4}{5}$，13]
• B． [$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$\sqrt{13}$]
• C． [0，4]
• D． [1，$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域，
設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
由圖象知A到原點(diǎn)的距離最大，
點(diǎn)O到直線BC：2x+y-2=0的距離最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），此時(shí)z=2²+3²=4+9=13，
點(diǎn)O到直線BC：2x+y-2=0的距離d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則z=d²=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{4}{5}$，
故z的取值范圍是：[$\frac{4}{5}$，13]．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及距離的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．