Question

12．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$，則x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{4}{5}$，13]
• B． [$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$\sqrt{13}$]
• C． [0，4]
• D． [1，$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，結合兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域，
設z=x²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內的點到原點距離的平方，
由圖象知A到原點的距離最大，
點O到直線BC：2x+y-2=0的距離最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），此時z=2²+3²=4+9=13，
點O到直線BC：2x+y-2=0的距離d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則z=d²=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{4}{5}$，
故z的取值范圍是：[$\frac{4}{5}$，13]．
故選：A．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，涉及距離的計算，利用數形結合是解決本題的關鍵．