Question

17．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）證明：f（x）是R上的增函數(shù)
（6）當x∈[-1，2），求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）運用奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，可得m=2．
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數(shù)
（3）利用f （x）是[-1，2）上的增函數(shù)，即可求函數(shù)f （x）的值域

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函數(shù)，
所以f（0）=1-$\frac{m}{{5}^{0}+1}$=0，
解得：m=2，
（2）證明：（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）由（2）知f （x）是[-1，2）上的增函數(shù)，
∵f （-1）=-$\frac{2}{3}$，f （2）=$\frac{12}{13}$
∴當x∈[-1，2）時，函數(shù)f （x）的值域是[-$\frac{2}{3}，\frac{12}{13}]$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)解析式的求法，難度中檔