【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與直線垂直,橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的弦.若弦的中點(diǎn)分別為,證明:直線恒過定點(diǎn).
【答案】(1);(2)直線經(jīng)過定點(diǎn).
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)直線與直線垂直可得,從而得到,再由點(diǎn)在橢圓上可求得,即可得橢圓的方程.(2)當(dāng)直線的斜率都存在時(shí),設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后根據(jù)根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)的坐標(biāo),同理可得點(diǎn)坐標(biāo),從而可得直線的方程,通過此方程可得直線過定點(diǎn).然后再驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也過該定點(diǎn).
試題解析:
(1)因?yàn)橹本與直線垂直,
所以(為坐標(biāo)原點(diǎn)),
即,
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,
由,解得,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí),
設(shè)直線的方程為,
則直線的方程為,
由消去x整理得,
設(shè),
則,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,
用代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的可得.
所以直線的方程為,
令,得,
所以直線經(jīng)過定點(diǎn).
②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí),可知直線為軸,也經(jīng)過定點(diǎn).
綜上所述,直線經(jīng)過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作)的乘積等于常數(shù).已知pH值的定義為,健康人體血液的pH值保持在7.35~7.45之間,那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù): , )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了鼓勵(lì)學(xué)生熱心公益,服務(wù)社會(huì),成立了“慈善義工社”.2017年12月,該!按壬屏x工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動(dòng)的機(jī)會(huì),學(xué)生可通過網(wǎng)路平臺(tái)報(bào)名參加活動(dòng).為了解學(xué)生實(shí)際參加這4次活動(dòng)的情況,該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表,其中“√”表示參加,“×”表示未參加.
根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì),該校4000名學(xué)生中約有120名這4次活動(dòng)均未參加.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)從該校4000名學(xué)生中任取一人,試估計(jì)其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)的概率;
(Ⅲ)已知學(xué)生每次參加公益活動(dòng)可獲得10個(gè)公益積分,任取該校一名學(xué)生,記該生2017年12月獲得的公益積分為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=sin2ax-sin ax·cos ax- (a>0)的圖象與直線y=b相切,并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列.
(1)求a,b的值;
(2)若x0∈,且x0是y=f(x)的零點(diǎn),試寫出函數(shù)y=f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的五面體中, , , ,四邊形為正方形,平面平面.
(1)證明:在線段上存在一點(diǎn),使得平面;
(2)求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn).
①求的取值范圍;
②求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=2f(x);②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.則函數(shù)g(x)=f(x)-2在區(qū)間[1,28]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的下頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),直線分別與軸交于點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線交軸于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)均在軸右側(cè),且時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1, 在直角梯形中, , , , 為線段的中點(diǎn). 將沿折起,使平面 平面,得到幾何體,如圖2所示.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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