Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x-1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在x∈[

π

4

，

π

2

]，使得f（x）＜m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對三角函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）首先根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進一步利用函數(shù)的恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x-1
=2（sin2x•

1

2

-cos2x•

3

2

）
=2sin(2x-

π

3

)
所以：f(x)=2sin(2x-

π

3

)
由x∈[

π

4

，

π

2

]．
所以：

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

2

，
得

π

4

≤x≤

5π

12

，
故遞增區(qū)間為[

π

4

，

5π

12

]；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
使得f（x）＜m成立，
只需滿足m＞f（x）_min即可，
進一步求出f（x）的最小值為2sin

π

6

=1，
∴m＞1

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，利用函數(shù)的整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題的應用，屬于基礎題型．