Question

4．求函數(shù)f（x）=3x³-3x+1的極值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：首先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則，
可得f′（x）=9x²-3，解方程f′（x）=0，得${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，{x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
根據(jù)x₁，x₂列表分析f′（x）的符號、f（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)：

x	$（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
y	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

根據(jù)表可知${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$為函數(shù)f（x）=3x³-3x+1的極大值點(diǎn)，
函數(shù)在該點(diǎn)的極大值為：$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
${x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$為函數(shù)f（x）=3x³-3x+1的極小值點(diǎn)，
函數(shù)在該點(diǎn)的極小值為$f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．