Question

18．數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且a₂=3，a₄=5；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3b_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}通項公式a_n，b_n；
（2）若c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項和T_n；
（3）${c_n}≥{m^2}-m$對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a₂，a₄可求首項和公差，易求數(shù)列{a_n}的通項，由$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得數(shù)列{b_n}的遞推式，從而可得該數(shù)列為等比數(shù)列，易求；
（2）利用錯位相減法可得；
（3）求出c_n的最小值即可求解．

解答 解：（1）因為a₂=3，a₄=5，所以公差d=1，
∴a_n=n，
由2S_n=3b_n-3①可得：
當n=1時，2b₁=3b₁-3，得：b₁=3，
當n≥2時，2S_n-1=3b_n-1-3②，
①-②得：b_n=3b_n-1，
故數(shù)列為以首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴$_{n}=3•{3}^{n-1}={3}^{n}$；
（2）${c}_{n}=n•{3}^{n}$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ③，
∴$3{T}_{n}=1•{3}^{2}+2•{3}^{3}+…+（n-1）•{3}^{n}+n•{3}^{n+1}$④，
③-④得：$-2{T}_{n}=3+{3}^{2}+…+{3}^{n}-n•{3}^{n+1}$=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{-2}-n•{3}^{n+1}$，
∴${T}_{n}=\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$；
（3）顯然數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，故數(shù)列的最小項為c₁=3，
由題意有m²-m≤3，
解得：$\frac{1-\sqrt{13}}{2}≤m≤\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
即實數(shù)m的取值范圍是$\frac{1-\sqrt{13}}{2}≤m≤\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
$；\\;\\;\\;\\;=1•3+2•{3}^{2}+3•{3}^{3}+…+n•{3}^{n}$

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關知識以及數(shù)列的求和方法．第二問中正確判斷數(shù)列的結構特點再用相應的求和方法來求和是解題關鍵．屬于中檔題．