Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，PC與底面ABCD所成角為30°．
（I）證明：平面PBD⊥平面PAC；
（II）求平面APB與平面PCD所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （I）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥面PAC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（II）PC與底面ABCD所成角為∠PCA=30°，推導出∠B=120°，設AC與BD相交于點O，取PC的中點Q，以OB，OC，OQ分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標系，由此能求出面APB與平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 證明：（I）∵底面ABCD是平行四邊形，且AB=AD，
∴AC⊥BD…（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，PA⊥BD…（2分）
∵AC∩PA=A，∴BD⊥面PAC…（3分）
∴平面PBD⊥平面PAC．…（4分）
解：（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴PC與底面ABCD所成角為∠PCA=30°，
∴在Rt△PAC中，$AC=PA•cot∠PCA=2\sqrt{3}$，
∴在△ABC中，$cosB=\frac{{A{B^2}+B{C^2}-A{C^2}}}{2AB•BC}=\frac{4+4-12}{8}=-\frac{1}{2}$，
∴∠B=120°，故∠DAB=60°，BD=2，…（6分）
設AC與BD相交于點O，取PC的中點Q，連結OQ，則OQ∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，
以OB，OC，OQ分別為x，y，z軸方向建立空間直角坐標系，
則$A（{0，-\sqrt{3}，0}）$，B（1，0，0），$C（{0，\sqrt{3}，0}）$，D（-1，0，0），$P（{0，-\sqrt{3}，2}）$…（8分）
設平面APB的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}}\right.$，
取$x=\sqrt{3}$，則y=-1，z=0，
故平面APB的一個法向量為$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1，0}）$，…（9分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-x-\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}}\right.$，
取$x=\sqrt{3}$，則$y=-1，z=-\sqrt{3}$，
∴平面PCD的一個法向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}，-1，-\sqrt{3}}）$…（10分）
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow m}\right＞=\frac{3+1+0}{{2•\sqrt{7}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，…（11分）
設平面APB與平面PCD所成二面角為θ，且因為θ為銳角．
∴$cosθ=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，即平面APB與平面PCD所成二面角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運用．