已知函數(shù)f（x）=4lnx-
1
2
x2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：計算題,導數(shù)的概念及應用
分析：（Ⅰ）依題意，可求得f（1）與f′（1），從而由直線的點斜式可得函數(shù)所對應曲線在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）通過f′（x）＞0可求其遞增區(qū)間，通過f′（x）＜0可求其單調減區(qū)間，從而可得極值．
解答： 解：（I）由題意函數(shù)的定義域為（0，+∞），且f(1)=-
1
2
，f′(x)=
4
x
-x，f′（1）=3
所以函數(shù)在點（1，f（1））處的切線方程為y-(-
1
2
)=3(x-1)，即y=3x-
7
2

 II）令f′（x）=0得x1=2，x2=-2（舍）
列表：
x（0，2）2（2，+∞）
f′（x）+0-
f（x）增極大值負
綜上所述：函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，2），單調減區(qū)間為（2，+∞），
函數(shù)f（x）的極大值為f（2）=4ln2-2，無極小值．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點在x軸上，若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）若cos
π
4
cosφ-sin
3π
4
sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸的相鄰兩個交點之間的距離等于
π
3
，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若方程2f（x）-1=0在區(qū)間[a，b]上有三個實數(shù)根，求b-a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}，C={x|a-2＜x＜2a}，求：
（1）（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且離心率為
2
2
，點A（-
2
2
，
3
2
）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，使直線F2M與F2N的傾斜角互補，且直線l是否恒過定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（-3，-4）、B（5，-12）
（1）求
AB
的坐標及|
AB
|；?
（2）若
OC
=
OA
+
OB
，
OD
=
OA
-
OB
，求
OC
及
OD
的坐標；?
（3）求
OA
•
OB
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，
i
，
j
分別為直角坐標系中與x軸、y軸正半軸同方向的單位向量，若向量
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8．
（Ⅰ）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設拋物線y=-
x2
12
+3的頂點為P，焦點為F．直線l過點P與曲線C交于A，B兩點，是否存在這樣的直線l，使得以AB為直徑的圓過點F，若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
x
ax+b
（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，則f（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2sin（3x+
π
4
）-1的單調遞減區(qū)間為
 
．

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