Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且離心率為

2

2

，點A（-

2

2

，

3

2

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，使直線F₂M與F₂N的傾斜角互補，且直線l是否恒過定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出直線MN過定點（2，0）．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
且離心率為

2

2

，點A（-

2

2

，

3

2

）在橢圓C上．
∴

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，
消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
設(shè)M（x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，…（8分）
又k_F2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補，
得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0
整理得m=-2k．…（10分）
直線MN的方程為y=k（x-2），
因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理，傾斜解互補的性質(zhì)的合理運用．