Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；

(2)若函數(shù))在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(3)若當(dāng)時，方程有實數(shù)根，求實數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)0.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值即該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值為零；

（2）在上為增函數(shù)， 在上恒成立，建立關(guān)于的不等式，分類討論求解即可；

（3)方程可轉(zhuǎn)化為在上有解，然后對的值域進(jìn)行討論，求出 的取值范圍即可.

試題解析： (1) ，

因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，且經(jīng)檢驗成立.

(2)因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以對恒成立．

討論：

當(dāng)時， 對上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故符合題意．

當(dāng)時， ，所以，且對上恒成立，

令，其對稱軸方程為，又因為，所以，所以要使

對上恒成立，只要即可，即，所以.

又因為，所以.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.

(3)當(dāng)時，方程可化為.

所以在區(qū)間上有解.

引入，令，

則，

所以當(dāng)時， ，從而函數(shù)在上為增函數(shù)；

當(dāng)時， ，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此.又，所以當(dāng)時， ．

又，所以，因此當(dāng)時， 取得最大0.