Question

16．已知點A，B分別是橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}$=1長軸的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP距離等于|MB|，橢圓上的點到點M的距離d的最小值（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出A、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{FP}$的坐標(biāo)，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，且y＞0，解方程組求得點P的坐標(biāo)．求出直線AP的方程，設(shè)點M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點到點M的距離d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答 解：由已知可得點A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點P（x，y），
則$\overrightarrow{AP}$=（x+6，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-4，y）．
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，2x²+9x-18=0，解得x=$\frac{3}{2}$，或x=-6．
由于y＞0，只能x=$\frac{3}{2}$，于是y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴點P的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
直線AP的方程是$\frac{y-0}{\frac{5\sqrt{3}}{2}-0}=\frac{x+6}{\frac{3}{2}+6}$，即 x-$\sqrt{3}$y+6=0．  
設(shè)點M（m，0），則M到直線AP的距離是$\frac{|m+6|}{2}$．
于是$\frac{|m+6|}{2}=|6-m|$，又-6≤m≤6，解得m=2，故點M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點（x，y）到點M的距離為d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-$\frac{5}{9}$x² =$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時，d取得最小值$\sqrt{15}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)和點到直線的距離公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，求出點M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，是中檔題．