Question

8．已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)；
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于2？若存在求出直線方程；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），根據(jù)已知構(gòu)造方程，解得a²，b²可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由l與OA平行且距離為2，可得l的方程，聯(lián)立橢圓方程，判斷方程組是否有解，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1\\{a}^{2}=^{2}+4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=16\\^{2}=12\end{array}\right.$
所求橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）若存在這樣的直線l，依題意，l與OA的平行，
故l的斜率k=k_OA=$\frac{3}{2}$，
設(shè)直線l的方程為：y=$\frac{3}{2}$x+b，則直線OA與l的距離為$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=2，
解得：b=±$\sqrt{13}$，
此時(shí)l的方程為：y=$\frac{3}{2}$x±$\sqrt{13}$，
代入橢圓方程整理得：$3{x}^{2}±3\sqrt{13}x+1=0$，
由△=105＞0可得：l與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，
故所求直線l方程y=$\frac{3}{2}$x±$\sqrt{13}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．