【題目】已知函數(shù).

(1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.

(3)若對(duì)于任意的,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3).

【解析】

(1)根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn), 可得,即可求出(2)根據(jù)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)時(shí),時(shí),時(shí),由導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間(3)根據(jù)的增減性,可知任意的的最大值為,不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求其最大值即可求出m的取值范圍.

(1)

因?yàn)?/span>是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以,解得.

(2)因?yàn)?/span>的定義域是,

①當(dāng)時(shí),列表

+

-

+

,單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí),列表

+

-

+

,單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.

(3)由(2)可知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

所以單調(diào)遞增.

所以對(duì)于任意的的最大值為,

要使不等式上恒成立,須

,因?yàn)?/span>

所以上遞增,的最大值為,所以.

的取值范圍為.

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