Question

13．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建立一個內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長為x（單位：m），設(shè)花園面積為S，
（Ⅰ）將S表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；
（Ⅱ）欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園，求其邊長x的值；
（Ⅲ）欲建一個面積不小于300m²的內(nèi)接矩形花園，求其邊長x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)△ADE∽△ABC可得y與x的關(guān)系，然后將y用x表示，根據(jù)矩形的面積公式可得函數(shù)s（x） 的解析式；
（Ⅱ）先對二次函數(shù)進(jìn)行配方，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口向下的二次函數(shù)在對稱軸處取最大值，從而求出所求；
（Ⅲ）欲建一個面積不小于300m²的內(nèi)接矩形花園，可得不等式，即可求其邊長x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）如圖∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AB-BD}{AB}$，
設(shè)矩形的另一邊長為y，
∴$\frac{x}{40}=\frac{40-y}{40}$，
∴y=40-x（0＜x＜40），
∴S（x）=x（40-x）=40x-x²，定義域為：（0，40）；
（Ⅱ）S（x）=40x-x²=-（x-20）²+400，0＜x＜40，
∴x=20時，函數(shù)S（x）最大值400m²．
（Ⅲ）欲建一個面積不小于300m²的內(nèi)接矩形花園，則40x-x²≥300，
∴（x-10）（x-30）≤0，∴10≤x≤30．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形相似的應(yīng)用，以及二次函數(shù)求最值，同時考查了分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．