Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|3x-1|+ax+3，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（2）若函數(shù)f（x）有最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時，得出f（x）=|3x-1|+x+3，這樣可討論x，從而去絕對值號即可將f（x）≤4轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式得出x的范圍，求并集即得出原不等式的解集；
（2）去絕對值號便可得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x+2}&{x≥\frac{1}{3}}\\{（a-3）x+4}&{x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，這樣便可看出，要使得f（x）有最小值，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a-3≤0}\end{array}\right.$，這樣便可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=|3x-1|+x+3；
①當$x≥\frac{1}{3}$時，f（x）≤4可化為3x-1+x+3≤4，解得$\frac{1}{3}≤x≤\frac{1}{2}$；
②當$x＜\frac{1}{3}$時，f（x）≤4可化為-3x+1+x+3≤4，解得$0≤x＜\frac{1}{3}$；
綜上可得，原不等式的解集為$[0，\frac{1}{2}]$；
（2）$f（x）=|3x-1|+ax+3=\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x+2}&{x≥\frac{1}{3}}\\{（a-3）x+4}&{x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$；
函數(shù)f（x）有最小值的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a-3≤0}\end{array}\right.$；
即-3≤a≤3；
∴a的取值范圍為[-3，3]．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，一次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)最小值的求法．