Question

10．已知a=-2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sin²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$）dx，則二項(xiàng)式（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹的展開式中x的一次項(xiàng)系數(shù)為（　　）

• A． -$\frac{63}{16}$
• B． $\frac{63}{16}$
• C． -$\frac{63}{8}$
• D． $\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可得a，二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，即可得出．

解答 解：a=-2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sin²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=$sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$sin\frac{π}{2}$-sin0=1，
則二項(xiàng)式（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹=$（x+\frac{1}{2x}）^{9}$的展開式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{9}^{r}$${x}^{9-r}（\frac{1}{2x}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{9}^{r}$x^9-2r，
令9-2r=1，解得r=4，∴x的一次項(xiàng)系數(shù)為$（\frac{1}{2}）^{4}$${∁}_{9}^{4}$=$\frac{63}{8}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分基本定理、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．