Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1，x＜1\\-\frac{1}{2}，x=1\\ 1+{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞1\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-k，k為常數(shù)，給出下列四種說法：
①f（x）的值域是（-∞，1]；
 ②當(dāng)$k=-\frac{1}{2}$時，g（x）的所有零點之和等于$2\sqrt{2}$；
③當(dāng)k≤-1時，g（x）有且僅有一個零點；  
④f（x+1）是偶函數(shù)．
其中正確的是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①根據(jù)分段函數(shù)的表達式分別求出對應(yīng)的取值范圍進行判斷，
②由g（x）=0轉(zhuǎn)化為f（x）=k，解方程即可．
③利用圖象進行判斷，
④根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性結(jié)合圖象進行判斷．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①當(dāng)x＜1時，f（x）=2^x-1∈（-1，1），
當(dāng)x＞1時，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜1，
綜上f（x）＜1，
即f（x）的值域是（-∞，1）；故①錯誤，
 ②由g（x）=f（x）-k=0得f（x）=k，
當(dāng)$k=-\frac{1}{2}$時，若x＜1，由f（x）=2^x-1=-$\frac{1}{2}$，得2^x=$\frac{1}{2}$，即x=-1
當(dāng)x=1時，f（1）=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞1時，由f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=-$\frac{1}{2}$，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=-$\frac{3}{2}$，即x=$（\frac{1}{2}）^{-\frac{3}{2}}$=${2}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{2}^{3}}$=$2\sqrt{2}$
則g（x）的所有零點之和等于-1+1+$2\sqrt{2}$=$2\sqrt{2}$，故②正確；
③由g（x）=f（x）-k=0得f（x）=k，
由圖象知當(dāng)k≤-1時，g（x）有且僅有一個零點，故③正確；  
④若f（x+1）是偶函數(shù)則函數(shù)f（x+1）關(guān)于x=0對稱，向右平移1個單位得到f（x），則f（x）關(guān)于x=1對稱，
當(dāng)x＜1時，f（x）=2^x-1∈（-1，1），當(dāng)x＞1時，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜1，顯然關(guān)于x=1不對稱，故f（x+1）不是偶函數(shù)，故④錯誤，
故正確的是②③，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及分段函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，注意使用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想．