Question

19．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外接球的體積是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\sqrt{6}$π
• D． 8$\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 由三視圖知幾何體是三棱錐，畫出直觀圖，由圖求出棱長、判斷出線面的位置關系，由線面垂直的定義、判定定理證明出AC⊥CD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出球的半徑，由球的體積公式求出幾何體的外接球的體積．

解答 解：由三視圖知幾何體是三棱錐A-BCD，
直觀圖如圖所示：取AD的中點M，連接BM，CM，
其中底面△BCD是等腰直角三角形，$BC=CD=\sqrt{2}$，
AB⊥平面BCD，BC⊥CD，$AB=\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∵AB⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，則AC⊥CD，
∵AB⊥BD，且M是AD的中點，
∴$BM=CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\sqrt{{2^2}+{{（{\sqrt{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
則該幾何體的外接球的半徑是$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴該幾何體的外接球的體積為$\frac{4}{3}π{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）^3}=\sqrt{6}π$，
故選C．

點評 本題考查由三視圖求幾何體外接球的體積，線面垂直的定義、判定定理，由三視圖正確復原幾何體以及確定外接球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力．