Question

1．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{sinθ}{{{{cos}^2}θ}}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M（-1，0），直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求線段MA、MB長(zhǎng)度之積MA•MB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出直線l的普通方程，再求出直線l的極坐標(biāo)方程，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²cos²θ=ρsinθ，由此能求出曲線C普通方程．
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，能求出|MA|•|MB|的值

解答 解：（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-1$，曲線C的普通方程為y=x²；
（Ⅱ）（方法一）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y=x²，
得${t^2}-3\sqrt{2}t+2=0$，MA•MB=|t₁t₂|=2．
（方法二）顯然直線l：x-y+1=0，聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y={x^2}\end{array}\right.$，
消去y得x²-x-1=0，所以${x_1}=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${x_2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
不妨設(shè)$A（\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，$B（\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$
則$MA=\sqrt{2}（\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，$MB=\sqrt{2}（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，
所以$MA•MB=\sqrt{2}（\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{5}}}{2}）•\sqrt{2}（\frac{3}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}）=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C普通方程的求法|，考查|MA|•|MB|的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．