Question

16．已知函數(shù)f（x）=-lnx+t（x-1），t為實數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，1]上的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過求導(dǎo)可知f′（x）=t-$\frac{1}{x}$，分t＜1和t＞1兩種情況討論即得結(jié)論；
（2）通過分析可知當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立等價于k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上恒成立，通過令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)可知g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上單調(diào)遞增，進(jìn)而整理即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=-lnx+t（x-1），t為實數(shù)，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+t=t-$\frac{1}{x}$，
又∵x∈（0，1]，
∴當(dāng)t＜1時，f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＜0，此時函數(shù)f（x）在（0，1]上的單調(diào)遞減；
當(dāng)t＞1時，f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＜0（0＜x＜$\frac{1}{t}$），f′（x）=t-$\frac{1}{x}$＞0（$\frac{1}{t}$＜x≤1），
此時函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{t}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{t}$，1]上的單調(diào)遞增；
（2）∵當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$+lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+lnx＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴k＜$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx＞0（x＞1），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-xlnx在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴k≤g（1）=$\frac{1}{2}$，故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．